Question

2．设数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，b_n=log₃（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式，推出{a_n+1}为等比数列数列{a_n}的通项公式．
（2）化简数列的通项公式，构造新数列，利用错位相减法求和，求解数列的和即可．

解答 解：（1）a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），a₁=2，∴a_n-1+1≠0，
可得$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=3$，
所以数列{a_n+1}以3为首项3为公比的等比数列；…（3分）
所以数列a_n的通项公式为：a_n=3ⁿ-1…（5分）
（2）由（1）知a_n=3ⁿ-1，b_n=log₃（a_n+1）=n．
，a_nb_n=n（3ⁿ-1）=n•3ⁿ-n…（6分）
设A_n=1×3+2×3²+…+n×3ⁿ
3A_n=1×3²+2×3³+…+n×3ⁿ⁺¹
∴-2A_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=（$\frac{1}{2}$-n）3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$…（8分）
∴${A_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）{3^{n+1}}+\frac{3}{4}$…（10分）
∴${S_n}={A_n}-\frac{n（n+1）}{2}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）{3^{n+1}}-\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}+\frac{3}{4}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．