Question

14．己知向量$\overrightarrow{a}$=（2，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$）
（1）若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$\frac{7}{3}$，求sinθ+cosθ的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sin（2θ+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示，结合同角三角函数的基本关系式，化简计算即可得到所求值；
（2）运用向量共线坐标表示，求得tanθ=2，再由二倍角公式和两角和的正弦公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（2，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（1，cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2+sinθcosθ=$\frac{7}{3}$，
即sinθcosθ=$\frac{7}{3}$-2=$\frac{1}{3}$，
则sinθ+cosθ=$\sqrt{（sinθ+cosθ）^{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+2sinθcosθ}$
=$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则2cosθ=sinθ，即tanθ=2，
sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{2sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{2tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{2×2}{1+{2}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
cos2θ=cos²θ-sin²θ=$\frac{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}$=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$，
则sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=sin2θcos$\frac{π}{3}$+cos2θsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的求值，注意运用三角函数的恒等变换公式，同时考查向量的数量积和共线条件，考查运算能力，属于中档题．