已知函数f(x)=x2+4x+a-5.g(x)=m•4x-1-2m+7．在区间[-1.1]上存在零点.求实数a的取值范围,(2)当a=0时.若对任意的x1∈[1.2].总存在x2∈[1.2].使f(x1)=g(x2)成立.求实数m的取值范围,的置于为区间D.是否存在常数t.使区间D的长度为6-4t?若存在.求出t的值,若不存在.请说明理由．(注:区间[p.q]的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知函数f（x）=x²+4x+a-5，g（x）=m•4^x-1-2m+7．
（1）若函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，2]，总存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围；
（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6-4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（注：区间[p，q]的长度q-p）

分析（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；
（2）只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，通过讨论m=0，m＞0，m＜0的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；
（3）通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及f（2），f（-2）的值，得到关于t的方程，解出即可．

解答解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=-2，
故f（x）在区间[-1，1]递增，
∵函数在区间[-1，1]存在零点，
故有$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≤0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-8≤0}\\{a≥0}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤8，
故所求实数a的范围是[0，8]；
（2）若对任意的x₁∈[1，2]，总存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，
a=0时，f（x）=x²+4x-5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，
下面求g（x），x∈[1，2]的值域，
令t=4^x-1，则t∈[1，4]，y=mt-2m+7，
①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；
②m＞0时，g（x）的值域是[7-m，2m+7]，
要使[0，7]⊆[7-m，2m+7]，
只需$\left\{\begin{array}{l}{7-m≤0}\\{2m+7≥7}\end{array}\right.$，解得：m≥7；
③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7-m]，
要使[0，7]⊆[2m+7，7-m]，
只需$\left\{\begin{array}{l}{2m+7≤0}\\{7-m≥7}\end{array}\right.$，解得：m≤-$\frac{7}{2}$，
综上，m的范围是（-∞，-$\frac{7}{2}$]∪[7，+∞）；
（3）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{t＜2}\\{6-4t＞0}\end{array}\right.$，解得：t＜$\frac{3}{2}$，
①t≤-6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（-2）最小，
∴f（t）-f（-2）=t²+4t+4=6-4t，
即t²+8t-2=0，解得：t=-4-3$\sqrt{2}$或t=-4+3$\sqrt{2}$（舍去）；
②-6＜t≤-2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（-2）最小，
∴f（2）-f（-2）=16=6-4t，解得：t=-$\frac{5}{2}$；
③-2＜t＜$\frac{3}{2}$时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，
∴f（2）-f（t）=-t²-4t+12=6-4t，
即t²=6，解得：t=$\sqrt{6}$或t=-$\sqrt{6}$，
故此时不存在常数t满足题意，
综上，存在常数t满足题意，
t=-4-3$\sqrt{2}$或t=-$\frac{5}{2}$．