Question

13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），圆C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=$\frac{π}{3}$时，求C₁被C₂截得的线段的长；
（Ⅱ）过坐标原点O作C₁的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当α=$\frac{π}{3}$时，C₁的普通方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程为x²+y²=1，联立方程组，解得C₁与C₂的交点，即可求C₁被C₂截得的线段的长；
（Ⅱ）求出A点坐标为（sin²α，-cosαsinα），可得普通方程，即可求A点轨迹的极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）当α=$\frac{π}{3}$时，C₁的普通方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程为x²+y²=1．
联立方程组，解得C₁与C₂的交点为（1，0）与（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，C₁被C₂截得的线段的长为1．                  …（5分）
（Ⅱ）将C₁的参数方程代入C₂的普通方程得t²+2tcosα=0，
∴A点对应的参数-cosα，∴A点坐标为（sin²α，-cosαsinα）．
故A点轨迹的普通方程为（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
化为极坐标方程得ρ=cosθ．            …（10分）

点评 本题考查三种方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．