Question

10．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+m，0≤x≤1\\ mx+5，x＞1\end{array}\right.$，若函数f（x）有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（-5，0）．

Answer 1

分析 由分段讨论函数的单调性，求导可知f（x）在[0，1]上是增函数，从而化为函数f（x）在[0，1]与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．

解答 解：当0≤x≤1时，
f（x）=2x³+3x²+m，
f′（x）=6x²+6x=6x（x+1）≥0；
故f（x）在[0，1]上是增函数，
故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，
则函数f（x）在[0，1]与（1，+∞）上各有一个零点；
故m＜0，
故$\left\{\begin{array}{l}{f（0）•f（1）≤0}\\{m+5＞0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{m•（5+m）≤0}\\{m＞-5}\end{array}\right.$，
解得，m∈（-5，0）；
故答案为：（-5，0）．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及方程的根与函数的零点的关系应用．考查了导数的综合应用，属于中档题．