Question

17．已知点A（-2，-1），B（2，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，点M的轨迹为曲线H．
（1）求曲线H的方程；
（2）过点P（-2，1）作斜率为k₁，k₂的两条直线l₁，l₂分别与曲线H交于C，D两点，且C，D关于原点对称，设点Q（-2，0）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂且d₁＞d₂，求k₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求曲线H的方程；
（2）确定${{k}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}$，利用d₁＞d₂，得$\frac{1}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$＞$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}+1}}$，即可求k₁的取值范围．

解答 解：（1）设M（x，y），则$\frac{y+1}{x+2}•\frac{y-1}{x-2}$=-$\frac{1}{2}$，
化简，可得曲线H的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）PC的方程为y-1=k₁（x+2），PB的方程为y-1=k₂（x+2），
∵k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，∴${{k}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}$，
∵d₁＞d₂，
∴$\frac{1}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}$＞$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4{{k}_{1}}^{2}}+1}}$，
∴$0＜{k}_{1}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．