Question

9．在等差数列{a_n}中，已知a₁=2，S₉=54，若数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{7}{16}$，则n=14．

Answer 1

分析 利用等差数列性质求出公差d=1，从而a_n=n+1，进而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，由此根据数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{7}{16}$，利用裂项求和法能求出n的值．

解答 解：∵在等差数列{a_n}中，a₁=2，S₉=54，
∴$9×2+\frac{9×8}{2}d=54$，解得d=1，
∴a_n=2+n-1=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∵数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{7}{16}$，
∴$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{7}{16}$，
解得n=14．
故答案为：14．

点评 本题考查等差数列的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式、前n项和公式、裂项求和法的合理运用．