Question

6．某工厂生产A，B两种型号的童车，每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们拆合成有效工时来表示．现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润情况列成如表：

车间	每辆童车所需的加工工时		有效工时（小时/日）
	A	B
机械	0.8	1.2	40
油漆	0.6	0.8	30
装配	0.4	0.6	25
利润（元/辆）	6	10

试问这两种型号的童车每日生产多少辆，才能使工厂所获得的利润最大？

Answer 1

分析 设x，y（单位辆）分别是A，B两种型号童车的日生产量，工厂每日可获得利润为z元，写出约束条件、目标函数，欲求利润最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．注意：最后要将所求最优解还原为实际问题．

解答 解：设x，y（单位辆）分别是A，B两种型号童车的日生产量，工厂每日可获得利润为z元，则z=6x+10y，其中x，y满足约束条件：…（1分）
$\left\{\begin{array}{l}{0.8x+1.2y≤40}\\{0.6x+0.8y≤30}\\{0.4x+0.6y≤25}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤100}\\{3x+4y≤150}\\{2x+3y≤125}\\{x，y∈N}\end{array}\right.$，…（4分）
作出可行域如图：

…（7分）
将z=6x+10y化成直线l：y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{10}$z，当z变化时，直线l的斜率为-$\frac{3}{5}$，在y轴上的截距为$\frac{1}{10}$z的一簇平行直线，
当直线在y轴上的截距最大时z取最大值．
由图易知，直线过A点时，z取最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2x+3y=100}\end{array}\right.$得A（0，$\frac{100}{3}$）…（9分）
由于A点不是整数点，在可行域的整数点中，（2，32）是最优解．
此时z_max=322（元）…（11分）
答：生产A种童车2辆，B种童车32辆，能使工厂获得最大利润，最大利润为332元．…（12分）

点评 在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．