Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n及S_n；
（2）设b_n=|a_n-10|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$，则a_n+1=$\frac{2{S}_{n+1}+1}{3}$，a_n-1-a_n=$\frac{2（{S}_{n+1}-{S}_{n}）}{3}$=$\frac{2}{3}{a}_{n+1}$，整理a_n-1=3a_n，当n=1时，求得a₁，求得数列{a_n}是等差数列，即可求得数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（2）求得b_n的通项公式，分别求得当n≤3时及当n≥4时数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意，a_n=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$，n∈N^*，则a_n+1=$\frac{2{S}_{n+1}+1}{3}$，
作差得：a_n+1-a_n=$\frac{2（{S}_{n+1}-{S}_{n}）}{3}$=$\frac{2}{3}{a}_{n+1}$，
化简得：a_n+1=3a_n，
又n=1时，a₁=$\frac{2{S}_{1}+1}{3}$=$\frac{2{a}_{1}+1}{3}$，解得a₁=1，
故数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，则a_n=3^n-1，
S_n=$\frac{1（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）a_n-10=3^n-1-10，
则b_n=|a_n-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-{3}^{n-1}}&{n≤3}\\{{3}^{n-1}-10}&{n≥4}\end{array}\right.$，
当n≤3时，T_n=10n-$\frac{1（1-{3}^{n}）}{1-3}$=10n-$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
当n≥4时，T_n=T₃+$\frac{{3}^{3}（1-{3}^{n-3}）}{1-3}$-10（n-3）=17+$\frac{{3}^{n}-27}{2}$-10+30=$\frac{{3}^{n}-20n+67}{2}$
综上则T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20n-{3}^{n}+1}{2}}&{（n≤3）}\\{\frac{{3}^{n}-20n+67}{2}}&{（n≥4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用数列的递推公式求通项公式，考查等比通项公式及前n项和公式，考查分类讨论法，综合考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．