Question

14．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位/人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能事据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的8名女生（其中包括甲、乙两人）中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两人被抽到的人数为X，求X的分布列及期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由表中数据得K²≈5.556＞5.024，从而根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由表中数据得K²的观测值：
${K^2}=\frac{{50×{{（{22×12-8×8}）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$．
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关…（6分）
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
$P（{X=0}）=\frac{C_6^2}{C_8^2}=\frac{15}{28}，P（{X=1}）=\frac{C_6^1C_2^1}{C_8^2}=\frac{3}{7}，P（{X=2}）=\frac{C_2^2}{C_8^2}=\frac{1}{28}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

所以$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．