Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且b=1，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由余弦定理列出关系式，把b=1，cosB的值代入并利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形ABC的面积．

解答 解：∵A、B、C成等差数列，A+B+C=π，
∴2B=A+C，即B=$\frac{π}{3}$，
∵b=1，cosB=$\frac{1}{2}$，
∴在△ABC中，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=1，
整理得：1=a²+c²-ac≥ac，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，当且仅当a=c时最大值，
则△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：C．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．