题目内容

5．假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：
使用年限x（年）23456
维修费用y（万元）2.23.85.56.57.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，估计使用年限为20年时，维修费用是多少？
回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的系数为：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{b}=\overline{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}}\end{array}\right.$．

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程；
（2）当自变量为20时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解：（1）由题意知$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.23，
$\stackrel{∧}{a}$=5-4×1.23=0.08，
∴$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08
（2）当自变量x=20时，预报维修费用是y=1.23×20+0.08=24.68（万元），
即估计使用20年时，维修费用是24.68万元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．

练习册系列答案
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