Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（ I）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（ II）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，线段BC的中点为M，求M到平面APB的距离d．

Answer 1

分析 （I）根据条件和线面垂直的判定定理得：AD⊥平面PQB，再由面面垂直的判断定理证明出平面PQB⊥平面PAD；
（ II）运用等体积法V_P-ABQ=V_Q-PAB，求M到平面APB的距离d．

解答 （ I）证明：连BD，四边形ABCD菱形，
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，Q为 AD中点，
∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q为 AD中点，∴AD⊥PQ，
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD；
（ II）解：如图，连接QM，QB，显然QM∥平面PAB，
∴M到平面PAB的距离就等于Q到平面PAB的距离，
运用等体积法V_P-ABQ=V_Q-PAB，即$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}×d×\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴d=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查体积法的运用，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．