Question

15．已知P是△ABC内的一点（不含边界），且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°若△PBC，△PAB，△PCA的面积分别为x，y，z，记h（x，y，z）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$+$\frac{9}{z}$，则h（x，y，z）的最小值为（　　）

• A． 26
• B． 32
• C． 36
• D． 48

Answer 1

分析 由向量的数量积公式和三角形的面积公式可得x+y+z=1，再根据基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$+$\frac{9}{z}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$+$\frac{9}{z}$）（x+y+z）
=1+4+9+$\frac{4x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{z}$+$\frac{z}{x}$+$\frac{4z}{y}$+$\frac{9y}{z}$≥14+4+6+12=36，
即f（x，y，z）的最小值为36，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．