题目内容
如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为（ ）| A、（3n2+n）π | ||
| B、（3n2-n+1）π | ||
C、
| ||
D、
|
考点：归纳推理
专题：等差数列与等比数列,推理和证明
分析：根据弧长公式分别求出CA1，A1A2，A2A3…A3n-2A3n-1，A3n-1A3n的长度，从而可知是
为首项，
为公差，项数为3n的等差数列，然后利用等差数列求和公式进行求解即可．
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：
解：根据弧长公式知CA1，A1A2，A2A3…A3n-2A3n-1，A3n-1A3n的长度分别为：
，
，…，
，
化简得：
，2×
，3×
，…，3n×
，此数列是
为首项，
为公差，项数为3n的等差数列，
则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×
+
×
=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π=（3n2+n）π．
故选：A
| ||
| π |
| ||
| π |
| ||
| π |
化简得：
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×
| 2π |
| 3 |
| 3n(3n-1) |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
故选：A
点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和，解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列，属于中档题．
练习册系列答案
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设a=
，b=p
，c=x+y，若对任意正实数x，y都存在以a，b，c为三边的三角形，则实数p的取值范围是（ ）
| x2-xy+y2 |
| xy |
| A、（1，3） |
| B、（0，1）∪（3，+∞） |
| C、（2，4） |
| D、（2，3） |