Question

4．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．
（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；
（2）当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=$\sqrt{3}$，VC=2时，求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．
（2）三棱锥A-BDE的体积为V_A-BDE=V_B-ADE，由此能求出三棱锥A-BDE的体积．

解答 解：（1）直线DE∥平面ABC．
证明如下：
∵VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC，
∵AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，
∵VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，
∵AC?平面ABC，DE?平面ABC，
∴直线DE∥平面ABC．
（2）VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，
又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，
∴三棱锥A-BDE的体积为V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}BC•{S}_{△ADE}$，
∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE⊥VC，S_△ADE=S_△CDE=$\frac{1}{2}DE•CE$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱锥A-BDE的体积V_A-BDE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}BC•{S}_{△ADE}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题考查线面位置关系的判断与证明，考查柱、锥、台体的体积，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．