Question

12．若等比数列{a_n}的公比为2，且a₃-a₁=2$\sqrt{3}$，则$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．

Answer 1

分析 等比数列{a_n}的公比为2，且a₃-a₁=2$\sqrt{3}$，可得${a}_{1}（{2}^{2}-1）$=2$\sqrt{3}$，解得a₁．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：∵等比数列{a_n}的公比为2，且a₃-a₁=2$\sqrt{3}$，∴${a}_{1}（{2}^{2}-1）$=2$\sqrt{3}$，解得a₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴a_n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×{2}^{n-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}×{2}^{n}$．∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{3}{{4}^{n}}$．
则$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=3×$（\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{n}}）$=$3×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{4}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．