Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=l，∠A_lB_lC₁=90°，AA_l=4，BB_l=2，CC_l=3，且设点O是AB的中点．
（1）证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求异面直线OC与A_lB_l所成角的正切值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为O为中点连接OD，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明OC∥平面A₁B₁C_1；
（2）取A_lB的中点M，则OC∥MC₁，∠C₁MB₁为异面直线OC与A_lB_l所成角，可求异面直线OC与A_lB_l所成角的正切值．

解答： （1）证明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，连C₁D．
则OD∥BB₁∥CC₁．
因为O是AB的中点，
所以OD=

1

2

（AA₁+BB₁）=3=CC₁．
则ODC₁C是平行四边形，因此有OC∥C₁D．C₁D?平面C₁B₁A₁且OC?平面C₁B₁A₁，
则OC∥面A₁B₁C₁．
（2）解：取A_lB的中点M，则OC∥MC₁，
∴∠C₁MB₁为异面直线OC与A_lB_l所成角，
∴异面直线OC与A_lB_l所成角的正切值为2．

点评：此题重点考查了线面平行的判定定理，考查异面直线OC与A_lB_l所成角的正切值，属于中档题．