Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4（

2

+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁•k₂=1．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意知，确定椭圆离心率，利用椭圆的定义得到又2a+2c=4（

2

+1），解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；
（2）设点P（x₀，y₀），根据斜率公式求得k₁、k₂，把点P（x₀，y₀）在双曲线上，即可证明结果．

解答： 解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：

c

a

=

2

2

，2a+2c=4（

2

+1），
所以a=2

2

，c=2，
又a²=b²+c²，因此b=2．
故椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
由题意设等轴双曲线的标准方程为

x2

m2

-

y2

m2

=1（m＞0），
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，
因此双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

4

=1．（8分）
（2）证明：P（x₀，y₀），
则k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

．
因为点P在双曲线x²-y²=4上，所以x02-y02=4．
因此k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=1．，即k₁k₂=1．（14分）

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．