Question

等比数列a_n中的前三项a₁，a₂，a₃分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．

5 4 3 6 10 8 20 12 6

（1）求此数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=3a_n-（-1）ⁿlga_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=3，a₂=6，a₃=12，公比q=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由an=3•2n-1，得b_n=3a_n-（-1）ⁿlga_n=9×2^n-1-（-1）ⁿ[lg3+（n-1）lg2]，由此能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）经检验，当a₁=5或a₁=4时，不可能得到符合题意的等比数列，
∴a₁=3，a₂=6，a₃=12，公比q=2，
∴an=3•2n-1．
（2）由an=3•2n-1，得b_n=3a_n-（-1）ⁿlga_n=9×2^n-1-（-1）ⁿ[lg3+（n-1）lg2]，
∴S_n=9（1+2+…+2^n-1）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]（lg3-lg2），
n为偶数时，S_n=9×

1-2n

1-2

+（lg3-lg2）-（

n-1

2

-n）lg2=9（2ⁿ-1）+

n-1

2

lg2+lg3．
n为奇数时，Sn=9×

1-2n

1-2

+(lg3-lg2)-(

n-1

2

-n)lg2=9（2ⁿ-1）+

n-1

2

lg2+lg3．
∴S_n=

9(2n-1)- n 2 lg2，n为偶数 9(2n-1)+ n-1 2 lg2+lg3，n为奇数

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．