Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-2，0]，不等式f（x）＜

16

9

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，讨论a＞0，a＜0的单调区间和极大值，从而解得a的值；
（Ⅱ）求出函数的导数，讨论a＞0，a＜0时，区间[-2，0]的单调性，求出最大值，由条件只要令它小于

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9

，即可得到a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）的导数为f′（x）=a（x-2）（3x-2），
当a＞0时，f′（x）＞0得x＞2或x＜

2

3

，
f′（x）＜0得

2

3

＜x＜2，则x=

2

3

取极大值，
即有

32a

27

=32，解得a=27，成立；
当a＜0时，f′（x）＜0得x＞2或x＜

2

3

，f′（x）＞0得

2

3

＜x＜2，
则x=2取极大值，
即有0=32，显然不成立．
故a=27；
（Ⅱ）函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）的导数为f′（x）=a（x-2）（3x-2），
当a＞0时，[-2，0]为增区间，即有f（0）最大且为0；
当a＜0时，[-2，0]为减区间，即有f（-2）最大且为-32a；
对任意x∈[-2，0]，不等式f（x）＜

16

9

恒成立等价为
对任意x∈[-2，0]，不等式f（x）_max＜

16

9

恒成立，
当a＞0时，有0＜

16

9

成立；当a＜0时，-32a＜

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9

，即a＞-

1

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．
故实数a的取值范围是：（-

1

18

，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求极值和单调区间，考查函数的单调性及运用：求最值，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．