Question

设S_n为数列{a_n}的前n项之和，若不等式n²a_n²+4S_n²≥λn²a₁²对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由于不等式n²a_n²+4S_n²≥λn²a₁²对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，利用等差数列的前n项和公式可得n2

a

2 n

+n2(a1+an)2≥λn2

a

2 1

，当a₁≠0时，化为λ≤2(

an

a1

+

1

2

)2+

1

2

，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵不等式n²a_n²+4S_n²≥λn²a₁²对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，
Sn=

n(a1+an)

2

，
∴n2

a

2 n

+n2(a1+an)2≥λn2

a

2 1

，
当a₁≠0时，化为λ≤2(

an

a1

)2+2

an

a1

+1=2(

an

a1

+

1

2

)2+

1

2

，
当

an

a1

=-

1

2

时，上式等号成立．
∴λ≤

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．