Question

11．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB=$\frac{1}{4}$，b=4，sinC=2sinA，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． $2\sqrt{15}$
• D． $4\sqrt{15}$

Answer 1

分析 sinC=2sinA，利用正弦定理可得：c=2a，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，即4²=a²+c²-$\frac{1}{2}$ac，与c=2a联立解出即可得出．

解答 解：∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴4²=a²+c²-$\frac{1}{2}$ac，与c=2a联立解得a=2，c=4．
∵cosB=$\frac{1}{4}$，B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\sqrt{15}$．
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．