Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，其离心率e=$\frac{1}{2}$，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂面积的最大值为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）由题意可设直线m的方程为：ty=x-2．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为：（3t²+4）y²+12ty-36=0，由|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，可得F₁Q⊥F₂Q.${k}_{{F}_{1}Q}$$•{k}_{{F}_{2}Q}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$$•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，即（1+t²）y₁•y₂+4t（y₁+y₂）+16=0．利用根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得c=2，a=4，b²=12．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）由题意可设直线m的方程为：ty=x-2．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，化为：（3t²+4）y²+12ty-36=0，
∴y₁•y₂=$\frac{-36}{3{t}^{2}+4}$，y₁+y₂=$\frac{-12t}{3{t}^{2}+4}$．
∵|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，
∴F₁Q⊥F₂Q．
∴${k}_{{F}_{1}Q}$$•{k}_{{F}_{2}Q}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$$•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，
∴y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0，即y₁•y₂+（ty₁+4）（ty₂+4）=0，
∴（1+t²）y₁•y₂+4t（y₁+y₂）+16=0，
∴（1+t²）•$\frac{-36}{3{t}^{2}+4}$+4t×$\frac{-12t}{3{t}^{2}+4}$+16=0，
化为：9t²=7，解得t=$±\frac{\sqrt{7}}{3}$．
∴直线m的方程为：3x$±\sqrt{7}$y-6=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、直线垂直与斜率之间的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．