Question

6．已知函数$f（x）=cos2xcosθ-sin2xcos（{\frac{π}{2}-θ}）（{|θ|＜\frac{π}{2}}）$在$（{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{6}}）$上单调递增，则$f（{\frac{π}{16}}）$的最大值为1．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=cos（2x+θ），由余弦函数的图象和性质可求θ的范围，进而即可得解．

解答 解：∵$f（x）=cos2xcosθ-sin2xcos（{\frac{π}{2}-θ}）（{|θ|＜\frac{π}{2}}）$
=cos2xcosθ-sin2xsinθ
=cos（2x+θ），
又∵f（x）在$（{-\frac{3π}{8}，-\frac{π}{6}}）$上单调递增，
∴2×（-$\frac{3π}{8}$）+θ≥2kπ+π，2×（-$\frac{π}{6}$）+θ≤2kπ+2π，k∈Z，
∵|θ|$＜\frac{π}{2}$，解得：-$\frac{π}{4}$≤θ≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{8}$≤$\frac{π}{8}$+θ≤$\frac{11π}{24}$，
∴$f（{\frac{π}{16}}）$=cos（2×$\frac{π}{16}$+θ）=cos（$\frac{π}{8}$+θ）≤1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．