Question

13．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C的各条棱长都为a，P为A₁B的中点，M为AB的中点，
（1）求证：AB⊥平面PMC；
（2）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）连接PM，CM，证明AB⊥PM，AB⊥CM，即可证明AB⊥平面PMC；
（2）利用等体积转化，求点B到平面PAC的距离．

解答 （1）证明：连接PM，CM   （1分）
可知 PM∥AA₁，而AB⊥AA₁，∴AB⊥PM
又∵AB⊥CM，PM∩CM=M，∴AB⊥面PMC（6分）
（2）解：假设点B到平面PAC的距离：h，
四面体P-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×\frac{1}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}$（8分）
∵△PAC中，AC=a，AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PC=a，
∴${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}a×\sqrt{\frac{7}{8}}a=\frac{{\sqrt{7}}}{8}{a^2}$（9分）
∴${V_{P-ABC}}={V_{B-PAC}}⇒\frac{{\sqrt{3}}}{24}{a^3}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{7}}}{8}{a^2}×h⇒h=\frac{{\sqrt{21}}}{7}a$（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，正确利用等体积转化是关键．