Question

14．已知点P（$\sqrt{2}$，1）和椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（1）设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，试求△PF₁F₂的周长及椭圆的离心率；
（2）若直线l：$\sqrt{2}$x-2y+m=0（m≠0）与椭圆C交于两个不同的点A，B，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，可得P在椭圆上，运用椭圆的定义，即可得到△PF₁F₂的周长和椭圆的离心率；
（2）联立直线和椭圆方程，可得x的二次方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理，即可得证．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
点P（$\sqrt{2}$，1）在椭圆C上，由椭圆定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
△PF₁F₂的周长为2a+2c=4+2$\sqrt{2}$；
椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）证明：联立直线$\sqrt{2}$x-2y+m=0和椭圆x²+2y²=4，
可得4x²+2$\sqrt{2}$mx+m²-8=0，
由直线与椭圆有两个交点，且直线不过点P，
可得△=8m²-4×4（m²-8）＞0，且m≠0，
解得-4＜m＜0或0＜m＜4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-8}{4}$，
y₁=$\frac{\sqrt{2}{x}_{1}+m}{2}$，y₂=$\frac{\sqrt{2}{x}_{2}+m}{2}$，
则k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}{x}_{1}+m-2}{2（{x}_{1}-\sqrt{2}）}$+$\frac{\sqrt{2}{x}_{2}+m-2}{2（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$
=$\sqrt{2}$+$\frac{m}{2（{x}_{1}-\sqrt{2}）}$+$\frac{m}{2（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{2}$+$\frac{m（{x}_{1}+{x}_{2}）-2\sqrt{2}m}{2（{x}_{1}-\sqrt{2}）（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$
=$\sqrt{2}$+$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}{m}^{2}-2\sqrt{2}m}{2（\frac{{m}^{2}-8}{4}+2+m）}$=$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$•$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}+2m}{\frac{1}{2}{m}^{2}+2m}$=0．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．