题目内容
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数f（x）=
+
，g（x）=log2
．其中a＜0
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成的集合；
（3）在（1）的条件下，是否存在这样的负实数k，使g（k-cosθ）+g（cos2θ-k2）≥0
对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
| 3+ax |
| x+3 |
（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成的集合；
（3）在（1）的条件下，是否存在这样的负实数k，使g（k-cosθ）+g（cos2θ-k2）≥0
对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．
考点：函数与方程的综合运用
专题：函数的性质及应用
分析：（1）通过f（x）=
+
为偶函数，推出a2=1，然后求出a．
（2）求出g(x)=log2
，通过单调性求出-1≤g（x）≤1，然后求出函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成集合为[1，+∞）．
（3）求出g（x）的定义域为（-3，3），判断f（x）是奇函数．通过f（x）是（-3，3）上的减函数，转化为：
对θ∈R恒成立，然后求解k的范围．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
（2）求出g(x)=log2
| 3-x |
| x+3 |
（3）求出g（x）的定义域为（-3，3），判断f（x）是奇函数．通过f（x）是（-3，3）上的减函数，转化为：
|
解答：
（本题14分）
解：（1）因为f（x）=
+
为偶函数，
所以f（-x）=f（x），即
+
=
+
，
∴(a-
)(ex-
)=0
得a2=1，
而a＜0，故a=-1…（2分）．
（2）由（1）得：g(x)=log2
，
而g（x）=log2（-1+
），
易知g（x）在区间[-1，1]上单调递减，
所以-1≤g（x）≤1，
所以函数g（x）的值域为[-1，1]，
所以|g（x）|≤1，…（5分）
故函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成集合为[1，+∞）．…（6分）
（3）∵g（x）的定义域为（-3，3）
由于f(-x)=lg(
)=-lg(
)=-f(x)∴f（x）是奇函数．…（7分）
又易知g（x）在区间（-3，3）上单调递减，
∵g（k-cosθ）+g（cos2θ-k2）≥0
∴f（k-cosθ）≥-f（cos2θ-k2）=f（k2-cos2θ）…（8分）
∵f（x）是（-3，3）上的减函数
∴
对θ∈R恒成立，
由k-cosθ≤k2-cos2θ对θ∈R恒成立，
得：k-k2≤cosθ-cos2θ对θ∈R恒成立．…（10分）
令y=cosθ-cos2θ=
-(cosθ-
)2，
，
∴k-k2≤-2⇒k≤-1，
同理：由-3＜k-cosθ＜3对θ∈R恒成立得：-2＜k＜2…（12分）．
由-3＜cos2θ-k2＜3对θ∈R恒成立得：-
＜k＜
…（13分）．
即综上所得：-
＜k≤-1．
所以存在这样的k其范围为-
＜k≤-1…（14分）．
解：（1）因为f（x）=
| ex |
| a |
| a |
| ex |
所以f（-x）=f（x），即
| e-x |
| a |
| a |
| e-x |
| ex |
| a |
| a |
| ex |
∴(a-
| 1 |
| a |
| 1 |
| ex |
得a2=1，
而a＜0，故a=-1…（2分）．
（2）由（1）得：g(x)=log2
| 3-x |
| x+3 |
而g（x）=log2（-1+
| 1 |
| x+3 |
易知g（x）在区间[-1，1]上单调递减，
所以-1≤g（x）≤1，
所以函数g（x）的值域为[-1，1]，
所以|g（x）|≤1，…（5分）
故函数g（x）在区间[-1，1]上的所有上界构成集合为[1，+∞）．…（6分）
（3）∵g（x）的定义域为（-3，3）
由于f(-x)=lg(
| 3+x |
| 3-x |
| 3-x |
| 3+x |
又易知g（x）在区间（-3，3）上单调递减，
∵g（k-cosθ）+g（cos2θ-k2）≥0
∴f（k-cosθ）≥-f（cos2θ-k2）=f（k2-cos2θ）…（8分）
∵f（x）是（-3，3）上的减函数
∴
|
由k-cosθ≤k2-cos2θ对θ∈R恒成立，
得：k-k2≤cosθ-cos2θ对θ∈R恒成立．…（10分）
令y=cosθ-cos2θ=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
|
∴k-k2≤-2⇒k≤-1，
同理：由-3＜k-cosθ＜3对θ∈R恒成立得：-2＜k＜2…（12分）．
由-3＜cos2θ-k2＜3对θ∈R恒成立得：-
| 3 |
| 3 |
即综上所得：-
| 3 |
所以存在这样的k其范围为-
| 3 |
点评：本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及奇偶性以及函数的恒成立问题的应用，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．
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在如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是长方形，BB1⊥AB，CA=CB，已知a＞b＞c＞0，则a2+
+
+
的最小值为（ ）
| 1 |
| bc |
| 1 |
| a(a-b) |
| 1 |
| b(a-c) |
| A、4 | B、6 | C、8 | D、10 |