Question

已知函数f（x）=x²+（a-2）x-2a+4，g（x）=3x²+ax-2a．
（1）若函数f（x）为偶函数，求函数g（x）在[-a，a+2]上的值域；
（2）若存在x∈[-3，1]，使得f（x）+g（x）＞0成立，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=

f(x)

g(x)

在定义域内的值恒为正数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）为偶函数即可求得a=2，从而求g（x）=3x²+2x-4在[-2，4]上的值域即可；
（2）根据已知条件设F（x）=2x²+（a-1）x-2a+2，从而得到F（-3）＞0，或F（1）＞0，解不等式即得a的取值范围；
（3）根据该问的条件知，对于f（x）的判别式△=（a-2）（a+6），和g（x）的判别式△=a²+24需满足

a2+24≤0 (a-2)(a+6)＜0

，解不等式组即得a的取值范围．

解答： 解：（1）若f（x）为偶函数，则：
f（-x）=x²-（a-2）x-2a+4=x²+（a-2）x-2a+4；
∴a=2；
∴g（x）=3x²+2x-4，[-a，a+2]=[-2，4]；
g（x）的对称轴为x=-

1

3

，则g（4）＞g（-2）；
∴g（x）的最小值为g（-

1

3

）=-

13

3

，最大值为g（4）=52；
∴g（x）在[-2，4]上的值域为[-

13

3

，52]；
（2）由f（x）+g（x）＞0得，2x²+（a-1）x-2a+2＞0；
∴该不等式在[-3，1]上有解；
设F（x）=2x²+（a-1）x-2a+2，则：
F（-3）＞0，或F（1）＞0；
∴23-5a＞0，或3-a＞0；
解得a＜3；
∴a的取值范围为（-∞，3）；
（3）由

f(x)

g(x)

＞0得，

f(x)＞0 g(x)＞0

，或

f(x)＜0 g(x)＜0

；
而h（x）的定义域为不等式g（x）＞0，或g（x）＜0的解集；
对于g（x），△=a²+24；对于f（x），△=（a-2）（a+6）；
∴要使在h（x）的定义域内，

f(x)

g(x)

＞0恒成立，则：

a2+24≤0 (a-2)(a+6)＜0

，解得-6＜a≤0；
∴a的取值范围为（-6，0]．

点评：考查偶函数的定义，以及通过求二次函数在闭区间上的最值得到二次函数的值域的方法，熟练掌握并会应用二次函数的图象，当二次函数的判别式小于或小于等于0时二次函数的符号如何．