Question

已知椭圆C的离心率e=

2

2

，长轴的左右端点分别为A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．求证：以PQ为直径的圆过定点N（1，0）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据离心率e=

2

2

，长轴的左右端点分别为A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+b与曲线C联立，消去y，利用曲线C与直线l只有一个公共点，得△=0，可得b²=2k²+1，求出P，Q的坐标，证明

PN

•

QN

=1+

2k

b

-

2k

b

-1=0，可得以PQ为直径的圆恒过定点．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=

2

，e=

c

a

=

2

2

，
∴c=1，b=

a2-c2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）

y=kx+b x2 2 +y2=1

消去得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵曲线C与直线l只有一个公共点，∴△=0，
可得b²=2k²+1（*），
设P（x_P，y_P），
∴xP=

-4kb

2(2k2+1)

=-

2k

b

，yP=kxP+b=

1

b

，∴P(-

2k

b

，

1

b

)．
又由

y=kx+b x=2

，∴Q（2，2k+b），
∵N（1，0），∴

PN

=(1+

2k

b

，-

1

b

)，

NQ

=(1，2k+b)
∴

PN

•

QN

=1+

2k

b

-

2k

b

-1=0，∴PN⊥QN，
∴以PQ为直径的圆过定点N（1，0）．

点评：本题主要考查椭圆方程、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．