Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1，S₃=6，则

n

Sn+8

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₁=1，S₃=6联立方程组求出a₁，d，进一步求出等差数列{a_n}的前n项和为S_n，代入

n

Sn+8

后整理，最后利用基本不等式求最值．

解答： 解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由S₁=1，S₃=6，得：

a1=1 3a1+3d=6

，解得：

a1=1 d=1

．
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n+

n2-n

2

=

n(n+1)

2

．
∴

n

Sn+8

=

n

n2+n 2 +8

=

2n

n2+n+16

=

2

n+ 16 n +1

≤

2

2 n• 16 n +1

=

2

9

．
当且仅当n=

16

n

，即n=4时上式取等号．
故答案为：

2

9

．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，训练了利用基本不等式求最值，是中低档题．