Question

已知函数f（x）=cos²（x-

π

4

）-sin²（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

）cosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）锐角三角形ABC的三内角分别为角A、B、C且f（

A

2

-

π

8

）=

2+ 6

4

，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）对函数解析式化简，进而利用正弦函数的性质求得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用f（

A

2

-

π

8

）的值求得∠A，进而求得∠B的范围，对sinB+sinC进行变形化简，进而根据∠B的范围求得其取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²（x-

π

4

）-sin²（x-

π

4

）-

2

sin（x-

π

4

）cosx
=cos2（x-

π

4

）-

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）cosx
=sin2x-sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2k+

π

2

（k∈Z）时，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），函数f（x）单调增，
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）∵f（

A

2

-

π

8

）=

2

2

sin（A+

π

4

）+

1

2

=

2+ 6

4

，
∴sinA=

3

2

∵三角形ABC为锐角三角形，
∴∠A=

π

3

∵0＜∠C＜

π

2

，∠C=

2π

3

-∠B
∴

π

6

＜∠B＜

π

2

，
∴sinB+sinC=sinB+sin（B+

π

3

）=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

）
∵

π

6

＜∠B＜

π

2

，
∴

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1
∴

3

2

＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

∴sinB+sinC的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的基本性质．做此类题要求学生对三角函数基本性质，相关公式熟练记忆．