Question

工厂生产某种电子元件，假设生产一件正品，可获利200元；生产一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件的过程中，次品率P与日产量x的函数关系是P=

3x

4x+32

（x∈N^*）
（1）将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）为获得最大利润，该厂的日产量应定为多少件？并求出最大的利润为多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据条件建立函数关系即可得到结论．
（2）求函数的导数，判断函数的单调性，利用导数即可求出最优解．

解答： 解答：解：（1）因为该厂的日产量为x，
则其次品数为Px=

3x2

4x+32

，正品数为（1-P）x=

x2+32x

4x+32

，
根据题意得T=200×

x2+32x

4x+32

-100×

3x

4x+32

=

-25x2+1600x

x+8

．（x∈N^*）

（2）∵T=

-25x2+1600x

x+8

．（x∈N^*）
∴T′=

(-50x+1600)(x+8)-(-25x2+1600x)

(x+8)2

=-25×

x2+16x-64×8

(x+8)2

=-25×

(x+32)(x-16)

(x+8)2

，
当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0．
∴当x=16时，T有最大值，即T_max=T（16）=800元．

点评：本题考查导数知识在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．