题目内容
11．已知向量$\overrightarrow m=（{2sinx，1}），\overrightarrow n=（{sinx+\sqrt{3}cosx，-3}），x∈R$，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设锐角△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=2，$a=\sqrt{7}，b=3$，求角A和边c的值．
分析 （I）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，利用三角函数的周期公式即可得解．
（II）由（I）知可得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，结合A的范围可求$A=\frac{π}{3}$，解法一：由余弦定理解得c的值，解法二：由正弦定理解得sinB，由B是锐角，可求cosB，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinC，根据正弦定理即可解得c的值．
解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2=$2sinx（sinx+\sqrt{3}cosx）-3+2$…（2分）
=$2{sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$…（4分）
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$…（5分）
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$…（6分）
（II）由（I）知$f（A）=2sin（2A-\frac{π}{6}）=2$，解得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$．…（7分）
∵$A∈（{0，\frac{π}{2}}），\;∴2A-\frac{π}{6}∈（{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{π}{3}$．…（9分）
解法一：由余弦定理得${a^2}={3^2}+{c^2}-2×3c×cos\frac{π}{3}$=c2-3c+9=7．
解得c=1或c=2．…（10分）
若c=1，则$cosB=\frac{{{1^2}+{{（{\sqrt{7}}）}^2}-{3^2}}}{{2×1×\sqrt{7}}}$＜0，
∴B为钝角，这与△ABC为锐角三角形不符，c≠1．…（11分）
∴c=2．…（12分）
解法二：由正弦定理得$\frac{3}{sinB}=\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}$，解得$sinB=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$…（10分）
∵B是锐角，∴$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
∵C=π-（A+B），
∴$sinC=sin（A+B）=sin（\frac{π}{3}+B）=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（11分）
∴$\frac{c}{{\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，解得c=2．…（12分）
点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式，余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．
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