Question

20．若函数f（x）=（x²-4）（x²+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则a=4，b=0，f（x）的最小值为-16．

Answer 1

分析 由题意得f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最小值．

解答 解：若函数f（x）关于直线x=-1对称，
∴f（0）=f（-2）=0且f（-4）=f（2）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-4b=0}\\{（16-4）（16-4a+b）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{a=4}\end{array}\right.$，
故a=4，b=0．
则f（x）=（x²-4）（x²+4x）=x⁴+4x³-4x²-16x
则f′（x）=4x³+12x²-8x-16=4（x+1）（x²+2x-4），
当x＞-1时，由f′（x）=0得x=-1+$\sqrt{5}$，
当x≥-1+$\sqrt{5}$时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，
当-1≤x≤-1+$\sqrt{5}$时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，
故当x=-1+$\sqrt{5}$时，f（x）取得极小值，同时也是最小值，
此时f（$\sqrt{5}$-1）=[（$\sqrt{5}$-1）²-4][（$\sqrt{5}$-1）²+4（$\sqrt{5}$-1）]=（2-2$\sqrt{5}$）（2+2$\sqrt{5}$）=4-（2$\sqrt{5}$）²=4-20=-16，
故f（x）的最小值为-16，
故答案为：4，0，-16

点评 本题主要考查函数对称性的应用，以及函数最值的求解，利用对称性求出a，b的值．根据对称性，求函数的导数研究当x≥-1时的最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．