Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），则

an2+16

n+1

取得最小值的n的值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把题目给出的数列递推式变形，得到

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），由累积法求出数列的通项公式，代入

an2+16

n+1

后整理，利用基本不等式求最值．

解答： 解：由na_n=（n+1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），
得：

an

an-1

=

n+1

n

（n≥2，n∈N^*），
又a₁=1，
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1
=

n+1

n

•

n

n-1

…

3

2

•1=

n+1

2

，
则

an2+16

n+1

=

( n+1 2 )2+16

n+1

=

n+1

4

+

16

n+1

≥2

n+1 4 • 16 n+1

=4．
当且仅当

n+1

4

=

16

n+1

，即n=7时上式等号成立．
故答案为：7．

点评：本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．