Question

已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若k＜

2c-b

2a

对任意的a，b，c恒成立，则

k2-2k+3

1-k

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,综合题,函数的性质及应用

分析：由三角形的性质得

2c-b

2a

＞

2c-b

2(b+c)

=

2c b -1

2(1+ c b )

，可求

2c-b

2a

＞-

1

2

，从而可得k的范围，而

k2-2k+3

1-k

=（1-k）+

2

1-k

，通过换元后结账函数的单调性可得最小值．

解答： 解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴

2c-b

2a

＞

2c-b

2(b+c)

=

2c b -1

2(1+ c b )

=1-

3

2( c b +1)

，
∵

c

b

＞0，∴1-

3

2( c b +1)

＞1-

3

2

=-

1

2

，
又k＜

2c-b

2a

对任意的a，b，c恒成立，
∴k≤-

1

2

，1-k≥

3

2

，
则

k2-2k+3

1-k

=（1-k）+

2

1-k

，
令1-k=t，t≥

3

2

，
t+

2

t

在[

3

2

，+∞）上单调递增，
∴t+

2

t

≥

3

2

+

2

3 2

=

17

6

，即

k2-2k+3

1-k

的最小值为

17

6

，
故答案为：

17

6

．

点评：该题考查函数恒成立、三角形的性质及函数的单调性最值，考查学生分析问题及解决问题的能力，求得k的范围是解决本题的关键所在．