Question

定义函数f（x）如下：对于实数x，如果存在整数m，使得|x-m|＜

1

2

，则f（x）=m．已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为q＜0，又f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，则q的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：利用新定义函数f（x），对q分类讨论即可得出．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为q＜0，
∴an=qn-1．
①假设-

1

2

＜q＜0，
∵a₁=1，∴由|1-m|＜

1

2

，可得m=1．
∴f（a₁）=1．
∵a₂=q，∴由|q-m|＜

1

2

，可得m=-1，∴f（a₂）=-1，
同理由a₃=q²，可得f（a₃）=0，
不满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，舍去．
②当q=-

1

2

时，f（a₁）=1，|-

1

2

-m|＜

1

2

，m无整数解，舍去．
③当-1＜q＜-

1

2

时，f（a₁）=1，
由|q-m|＜

1

2

，可得m=-1，∴f（a₂）=-1．
由|q2-m|＜

1

2

，可得m≠3，不满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，舍去．
④当q=-1时，f（a₁）=1，|-1-m|＜

1

2

，m=-1，可得f（a₂）=-1．
由|q2-m|＜

1

2

，可得m=1，不满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，舍去．
⑤当-

3

2

＜q＜-1时，f（a₁）=1，由|q-m|＜

1

2

，可得m=-1，∴f（a₂）=-1．
∵满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，∴m=3．
不满足|q²-3|＜

1

2

，舍去．
⑥当q=-

3

2

时，f（a₁）=1，由|-

3

2

-m|＜

1

2

，m无整数解，舍去．
⑦当-2＜q＜-

3

2

时，f（a₁）=1，由|q-m|＜

1

2

，可得m=-2，∴f（a₂）=-2．
∵满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，
∴m=4．
由|q2-4|＜

1

2

，可得

7

2

＜q2＜

9

2

，而

9

4

＜q2＜4，
∴

7

2

＜q2＜4，解得-2＜q＜-

14

2

．
⑧当m≤-2时，都不满足条件．
综上可得：q的取值范围是(-2，-

14

2

)．
故答案为：(-2，-

14

2

)．

点评：本题考查了新定义函数、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．