Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=-3，a₁a₂a₃=729
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，证明：T_n≤-

2

9

．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的通项公式及已知条件即可求出q，从而求得an=(-3)n；
（2）根据

1

an

=(-

1

3

)n可知，数列{

1

an

}是首项为-

1

3

，公比为-

1

3

的等比数列．所以该数列的前n项和Tn=-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n，而根据指数函数的单调性容易知道当n=2时，T_n取最大值-

2

9

，所以便有Tn≤-

2

9

．

解答： 解：（1）设{a_n}的公比为q，则：
(a1q)3=729=93，a₁=-3；
∴q=-3；
∴an=(-3)n；
（2）证明：

1

an

=(-

1

3

)n；
∴{

1

an

}是首项为-

1

3

，公比为-

1

3

的等比数列；
∴Tn=

- 1 3 [1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

=-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n；
要求T_n的最大值，只需求(-

1

3

)n的最大值；
(-

1

3

)n取最大值时，n需是偶数，再根据指数函数的单调性知：
n=2时，(-

1

3

)n取最大值

1

9

，即此时T_n取最大值-

2

9

；
∴Tn≤-

2

9

．

点评：考查等比数列的通项公式，以及前n项和公式，以及根据指数函数的单调性判断n取何值时，前n项和取最大值．