Question

11．设函数f（x）=x²-b|x|+c，g（x）=kx+c-2（k＞0），函数h（x）=f（x）-g（x），若f（-4）=f（0），f（-2）=-2，则当函数h（x）的零点个数为2时，k的取值范围为（　　）

• A． $（2\sqrt{2}，+∞）$
• B． $（4-2\sqrt{2}，+∞）$
• C． （4，+∞）
• D． $（4+2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 求得x≤0时，由f（-4）=f（0），f（-2）=-2可得b，c的方程，解方程可得b，c，由题意可得g（x）=kx与f（x）=x²-4|x|+2的右支恰有两个交点，求出直线y=kx与左支相切的情况，结合图象，即可得到k的范围．

解答 解：当x≤0时，f（x）=x²+bx+c，
因为f（-4）=f（0），f（-2）=-2，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{{（-4）}^2}+b×（-4）+c=c}\\{{{（-2）}^2}+b×（-2）+c=-2}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}}\right.$，所以f（x）=x²-4|x|+2，g（x）=kx，
又k＞0，函数h（x）的零点个数为2，
所以g（x）=kx与f（x）=x²-4|x|+2的右支恰有两个交点，
当与左支相切时，有3个公共点，与左支相切时，
由x²+4x+2=kx，变形得x²+（4-k）x+2=0，
由△=（4-k）²-8=0，得$k=4±2\sqrt{2}$，
又与左支相切，所以$k=4-2\sqrt{2}$，
结合图象，得k的取值范围为$k＞4-2\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数零点的个数问题的解法，注意运用转化思想和数形结合的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．