Question

1．已知函数g（x）=x³+3ax-2．
（1）当a为何值时，x轴为曲线y=g（x）的切线；
（2）求a的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；
（3）设f（x）=[$\frac{1}{3}$g′（x）-ax]e^x-x²，若函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设切点为（m，0），则$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}+3a=0}\\{{m}^{3}+3am-2=0}\end{array}\right.$，即可求出a；
（2）分类讨论，求导数，确定函数的单调性，即可得出a的范围，使g（x）有极值，并求极大值与极小值的和；
（3）h（x）=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$，在（-∞，+∞）上单调递增，其值域为R．则存在唯一x₀∈R，使得h（x₀）=a，分类讨论，利用函数f（x）在x=0处取得极小值，求a的取值范围．

解答 解：（1）设切点为（m，0），则$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}+3a=0}\\{{m}^{3}+3am-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{a=-1}\end{array}\right.$
∴a=-1时，x轴为曲线y=g（x）的切线．      …（3分）
（2）g′（x）=3x²+3a
当a≥0时，g′（x）≥0成立，函数y=g（x）无极值
a＜0，由g′（x）≥0，∴y=g（x）在（-∞，-$\sqrt{-a}$]和[$\sqrt{-a}$，+∞）上单增
由g′（x）≤0，∴y=g（x）在[-$\sqrt{-a}$，$\sqrt{-a}$]上单减
∴g（x）_极大=g（-$\sqrt{-a}$），g（x）_极小=g（$\sqrt{-a}$），g（x）_极大+g（x）_极小=g（-$\sqrt{-a}$）+g（$\sqrt{-a}$）=-4，
∴a＜0时，函数y=g（x）有极值，g（x）_极大+g（x）_极小=-4    …（7分）
（3）f（x）=（x²-ax+a）e^x-x²，
f′（x）=x[（x+2-a）e^x-2]，x∈R，
令f′（x）=0，则x=0或x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$-a=0，即x=0或h（x）=a，
∵h（x）=x+2-$\frac{2}{{e}^{x}}$，在（-∞，+∞）上单调递增，其值域为R．
∴存在唯一x₀∈R，使得h（x₀）=a，
①若x₀＞0，当x∈（-∞，0）时，h（x）＜a，f′（x）＞0；当x∈（0，x₀）时，h（x）＜a，f′（x）＜0；∴f（x）在x=0处取得极大值，这与题设矛盾；
②若x₀=0，当x∈（-∞，0）时，h（x）＜a，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，h（x）＞a，f（x）＞0；∴f（x）在x=0处不取极值，这与题设矛盾；
③若x₀＜0，当x∈（x₀，0）时，h（x）＞a，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，h（x）＞a，f′（x）＞0；∴f（x）在x=0处取得极小值；
综上所述，x₀＜0，∴a=h（x₀）＜h（0）=0．
∴a的取值范围是（-∞，0）． …（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．