题目内容
19．设函数f（x）=2kax+（k-3）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（2）＜0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x2-x）+f（tx+4）＜0恒成立的t的取值范围．
分析 （1）运用f（0）=0求解．
（2）根据单调性得出不等式x2-x＞-tx-4，即x2+（t-1）x+4＞0恒成立．
解答 解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，
所以2k+（k-3）=0，即k=1，
检验知，符合条件；
（2）f（x）=2（ax-a -x） （a＞0且a≠1）
因为f（2）＜0，a2-$\frac{1}{{a}^{2}}$＜0，又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1
因为y=ax单调递减，y=a -x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2-x）＜f（-tx-4）
所以x2-x＞-tx-4，即x2+（t-1）x+4＞0恒成立，
所以△=（t-1）2-16＜0，解得-3＜t＜5．
点评 本题考查了函数的性质，运用求解数值，判断单调性求解字母的范围，属于中档题，综合性较大．
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| A． | $\frac{n（2{n}^{2}-n-1）}{2}$ | B． | n（n2-1） | C． | n3-1 | D． | $\frac{n（{n}^{2}-1）}{2}$ |
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| A． | $（2\sqrt{2}，+∞）$ | B． | $（4-2\sqrt{2}，+∞）$ | C． | （4，+∞） | D． | $（4+2\sqrt{2}，+∞）$ |
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| B． | 1+2+3+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=2（k+1）2-（k+1） | |
| C． | 1+2+3+…+（2k-1）+2k+[2（k+1）-1]=2k2-k+2（k+1）2-（k+1） | |
| D． | 1+2+3+…+（2k-1）+2k+[2（k+1）-1]=2（k+1）2-（k+1） |
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