Question

2．已知函数f（x）=alnx-$\frac{3}{2}$x+3（y=kx+2k），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b（b∈R）
（Ⅰ） 求a，b的值；
（Ⅱ） 求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，可求a、b的值；
（Ⅱ）确定函数的单调性，即可求f（x）的极值．

解答 解：（Ⅰ）由$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{3}{2}$，则$f'（1）=a-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，得a=2，
所以$f（x）=2lnx-\frac{3}{2}x+3$，$f（1）=\frac{3}{2}$，
把切点$（1，\frac{3}{2}）$代入切线方程有$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+b$，解得b=1，
综上：a=2，b=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{4-3x}{2x}$，
当0＜x＜$\frac{4}{3}$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x＞\frac{4}{3}$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）在$x=\frac{4}{3}$时取得极大值$f（\frac{4}{3}）=2ln\frac{4}{3}+1$，f（x）无极小值．（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义与极值，考查函数的单调性，正确求导是关键．