Question

16．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx在x=-1处取得极小值，在x=$\frac{2}{3}$处取得极大值
（1）求实数a，b的值；
（2）求f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax+b，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f′（\frac{2}{3}）=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-3-2a+b=0}\\{-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=-x³-$\frac{1}{2}$x²+2x，
f′（x）=-3x²-x+2，
令f′（x）＞0，解得：-1＜x＜$\frac{2}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-1，
故f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，$\frac{2}{3}$）递增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）递减．

点评 本题考查了导数的应用，函数的单调性问题，是一道中档题．