Question

已知△ABC的内角A、B、C的对面分别为a，b，c，向量

m

=（

a

sinC

，c-2b），向量

n

=（sin2C，1），且满足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当a=1时，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用两向量垂直时其数量积为0，利用关系式，整理后求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，表示出三角形的周长l，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（

a

sinC

，c-2b），向量

n

=（sin2C，1），且满足

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即

a

sinC

•sin2C+c-2b=0，即2acosC+c-2b=0，
利用正弦定理化简得：2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
即2sinAcosC-2sin（A+C）=-sinC，
即2sinAcosC-2sinAcosC-2cosAsinC=-sinC，
∴cosA=

1

2

，
则A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=1，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∴b=

2 3

3

sinB，c=

2 3

3

sinC，
∴△ABC的周长为l=a+b+c=1+

2 3

3

（sinB+sinC），
∵sinC=sin（

2π

3

-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB，
∴l=1+

2 3

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=1+2sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，
∴当B=

π

3

时，△ABC周长的最大值为3．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．