Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+3cos2x+m  (m∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

3

]时，f（x）的最大值为9，求实数m的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+2，利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

3

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，从而可求得f（x）∈[3+m，4+m]，利用f（x）的最大值为9，可求实数m的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x+m
=

1-cos2x

2

+

3

sin2x+3×

1+cos2x

2

+m
=

3

sin2x+cos2x+m+2
=2sin（2x+

π

6

）+m+2，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程是x=

π

6

+

kπ

2

，k∈Z．
（Ⅱ）∵当x∈[0，

π

3

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴3+m≤2sin（2x+

π

6

）+m+2≤4+m
∴4+m=9，解得m=5．
∴实数m的值为5．

点评：本题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．