Question

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C．
（1）若bcosA-acosB=0，且a=2，∠C=

π

4

，求c的值；
（2）若

a

=(cosA，sinB)，

b

=(cosB，sinA)，

a

•

b

=1，试判断三角形的形状？

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理，建立条件关系即可求c的值；
（2）根据向量数量积的公式，利用三角函数的公式进行化简即可得到结论．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵bcosA-acosB=0，
∴由正弦定理有：sinBcosA-sinAcosB=0，
即sin（B-A）=0，
∴A=B，∴a=b=2，
∵∠C=

π

4

，
∴由余弦定理有：c=

a2+b2-2abcosC

=

8-4 2

．
（2）∵

a

=(cosA，sinB)，

b

=(cosB，sinA)，

a

•

b

=1，
∴cosAcosB+sinAsinB=1，
即cos（A-B）=1，
∵0＜A，B＜π，∴A=B，
∴△ABC为等腰三角形．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，以及向量数量积的计算，考查学生的计算能力．