Question

已知函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0）
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间并证明；
（Ⅱ）是否存在正实数m，n（m＜n），使函数f（x）的定义域为[m，n]时值域为[

m

6

，

n

6

]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若存在两个不相等的实数r和s，且r∈[1，+∞），s∈[1，+∞），使得f（r）=

1

2

r+t和f（s）=

1

2

s+t同时成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）用单调性定义判定并证明f（x）的单调减区间为（0，1]；
（Ⅱ）讨论①m、n∈（0，1]时，②m∈（0，1]，n∈[1，+∞）时，③m、n∈[1，+∞）时，由f（x）的单调性确定其值域，并求得符合条件的m，n的值；
（Ⅲ）根据题意，假设命题成立，则可转化为当x≥1时，f（x）=

1

2

x+t有两个不相等的实数根的问题，从而求得t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的单调减区间为（0，1]，
证明，任取x₁、x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=|1-

1

x1

|-|1-

1

x2

|
=（

1

x1

-1）-（

1

x2

-1）=

x2-x1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1]上为减函数；
（Ⅱ）①若m、n∈（0，1]，则f（m）＞f（n），
∴

f(m)= n 6 f(n)= m 6

，即

|1- 1 m |= n 6 |1- 1 n |= m 6

，即

1 m -1= n 6 1 n -1= m 6

；
两式相减，得

n-m

mn

=

n-m

6

，此式不可能成立；
②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），则f（x）的最小值为0，不合题意；
③若m、n∈[1，+∞），则f（m）＜f（n），
∴

f(m)= m 6 f(n)= n 6

，即

|1- 1 m |= m 6 |1- 1 n |= n 6

∴

1- 1 m = m 6 1- 1 n = n 6

；
∴m，n为1-

1

x

=

x

6

的不等实根．解得m=3-

3

，n=3+

3

，
综上，存在m=3-

3

，n=3+

3

符合题意；
（Ⅲ）若存在两个不相等的实数r和s，且r∈[1，+∞），s∈[1，+∞），
使得f（r）=

1

2

r+t，和f（s）=

1

2

s+t同时成立，
则当x≥1时，f（x）=

1

2

x+t有两个不相等的实数根，
即x²+（2t-2）x+2=0在[1，+∞）上有两个不相等的实数根；
令h（x）=x²+2（2t-2）x+2，则有：

△=(2t-2)2-8＞0 h(1)=1+2t-2+2≥0 1-t＞1

，
解得-

1

2

≤t＜1-

2

，
∴实数t的取值范围为[-

1

2

，1-

2

）．

点评：本题考查了函数的单调性与值域的问题，也考查了转化思想以及解方程的有关问题，是较难的题目．