Question

如图所示，点M在正六边形ABCDEF的边BC、CD、DE、EF上变动，若

AM

=x

AB

+y

AF

，其中x，y∈R，则x+y的最大值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：通过建立坐标系，写出各点的坐标及直线方程，设出动点M的坐标；
写出向量

AM

的坐标，据已知条件中的向量等式得到α，β与x，y的关系，代入点M的可行域得α，β的取值范围，利用线性规划求出α+β的取值范围．

解答： 解：建立如图坐标系，不妨设AB=1，则A（0，0），B（1，0），C（

3

2

，

3

2

），D（1，

3

），E（0，

3

），F（-

1

2

，

3

2

）；
则CD的方程为

3

x+y-2

3

=0（1≤x≤

3

2

，

3

2

≤y≤

3

），
BC的方程为

3

x-y-

3

=0（1≤x≤

3

2

，0≤y≤

3

2

），
EF 的方程为

3

x-y+

3

=0（-

1

2

≤x≤0，

3

2

≤y≤

3

），
DE的方程为y=

3

（0≤x≤1）；
设

AM

=（α，β），∵M在正六边形ABCDEF的边BC、CD、DE、EF上变动，∴

0≤α≤ 3 2 0≤β≤ 3

；
∵

AB

=（1，0），

AF

=（-

1

2

，

3

2

），
∴（α，β）=x（1，0）+y（-

1

2

，

3

2

）=（x-

1

2

y，

3

2

y）；
得

α=x- 1 2 y β= 3 2 y

，可得

0≤x- 1 2 y≤ 3 2 0≤ 3 2 y≤ 3

，化简得

0≤2x-y≤3 0≤y≤2

，
由线性规划的知识求得1≤x+y≤4；
∴x+y的最大值是4．
故答案为：4．

点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求最大值的问题，是难题．