Question

已知直线y=k（x-m）与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于点D，若动点D的坐标满足方程x²+y²-4x=0，则m等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设出D的坐标，求出OD的斜率，利用OD⊥AB于D，动点D的坐标满足方程x²+y²-4x=0，确定x的值，代入k•k′=-1，化简即可求出m的值．

解答： 解：∵点D在直线AB：y=k（x-m）上，∴设D坐标为（x，k（x-m）），
则OD的斜率为k′=

k(x-m)

x

；
又∵OD⊥AB，AB的斜率为k，
∴k•k′=

k2(x-m)

x

=-1，即k（x-m）=-

x

k

；
又∵动点D的坐标满足x²+y²-4x=0，即x²+[k（x-m）]²-4x=0，
将k（x-m）=-

x

k

代入上式，得x=

4k2

k2+1

；
再把x代入到

k2(x-m)

x

=-1中，
化简得4k²-mk²+4-m=0，即（4-m）•（k²+1）=0，
∵k²+1≠0，∴4-m=0，∴m=4．
故选：D．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分析问题、解决问题的能力，是中档题．